Teoria Fisica dell'Informazione

Il corso introduce alla moderna teoria quantistica dell'informazione e dei sistemi quantistici aperti. Si deriva la moderna teoria della misurazione e riduzione di stato, basata sulle nozioni di contrazione, mappa completamente positiva (CP) e "positive operator-valued measure" (POVM), concentrando l'attenzione sul problema della distinguibilita' quantistica, in relazione al teorema generale del no-cloning, e sulla base di principi generali della toria della misurazione, quali il principio della lettura differita, della misura implicita, e della commutazione fra misura e retroazione. Si introduce la teoria quantistica della stima, e si studiano misurazioni ottimali e la loro realizzazione fisica, in particolare misurazioni covarianti (fase quantistica, e misurazione congiunta di posizione e momento), con applicazioni in ottica quantistica (omodina, eterodina, ed interferometria). Vengono considerate anche misurazioni non locali di Bell. Si illustrano i metodi di teletrasporto quantistico, codifica superdensa, e tomografia quantistica, sulla base del metodo degli spanning sets di operatori. Vengono trattati i concetti di non localita' e contestualita' (disuguaglianze di Bell, CHSH e stato CHZ). Si analizza in dettaglio l'entanglement (forme di Hilbert-Schmidt per stati entangled, relazioni con teoremi di algebra di matrici: decomposizione polare e a valori singolari, relazione con la teoria della maggiorazione, distillazione di entanglement). Per quanto riguarda i sistemi aperti e il rumore, la teoria quantistica del canale di comunizazione viene imperniata sul concetto di "operazione quantistica" (mappe CP), dimostrando i teoremi di decomposizione di Krauss, di dilatazione di Stinespring, nonche' teoremi di realizzabilita' fisica, sulla base della corrispondenza biunivoca fra mappe CP e matrici positive sullo spazio tensore. Si studiano in particolare i canali di Pauli, la perdita quantistica e l'efficienza quantica, il rumore da amplificazione e il rumore Gaussiano, con cenni alla teoria delle Master Equations e alla forma generale di Lindbland. Infine si studiano misure di distanza fra stati, contrattivita' e monotonicita' della dinamica dei sistemi aperti. Si introducono ed analizzano varie entropie condizionate e non, e relative proprieta' di subadditivita', si introduce la mutua informazione, pervenendo al teorema del "data processing" classico e all'analogo teorema quantistico, nonche' ai teoremi generali di compressione di dati (teoremi di Shannon e Holevo Schumaker Westmoreland) per canali con rumore. Infine si tengono lezioni seminariali sulla computazione quantistica, con particolare riferimento ad algoritmi quantistici (Deutsch, Deutsch-Jozsa e Shor) alcuni cenni di computer science e teoria della complessita' computazionale, computazione reversibile, principio di Landaurer e demone di Maxwell. Si illustrano le operazioni a uno e due qubits, gates universali, con cenni introduttivi alla teoria della correzione degli errori, e alle implementazioni fisiche.

Ingegneria della misurazione quantistica

Richiami su basi assiomatiche della teoria degli ensembles ed operatore densita` e della teoria della misurazione quantistica. Rappresentazione di Bloch per sistemi a due livelli. Matrice densita` ridotta e purificazione. Misure proiettive e non proiettive (POVM). Distinguibilita' quantistica. Teorema del nocloning. Discriminazione probabilistica fra stati nonortogonali senza misidentificazione. Teoria quantistica della stima. Cenni di teoria delle rappresentazioni di gruppi, riduzione, e lemmi di Schur. Misurazioni covarianti. Applicazioni alla fase quantistica e interferometria. Misure congiunte: misura di Arthurs-Kelly. Riduzione di stato generalizzata e concetto di "strumento" quantistico. Decomposizione in misure di von Neumann-Devies e Gordon-Louisell. Principio di Heisenberg generalizzato. Misurazioni fondamentali: Stern-Gerlach e fotorivelazione (cenni alla teoria della fotorivelazione). Misure derivate: misura homodina ed heterodyna. Misure di Bell. Disuguaglianza di Clauser Horn Shimony Holt. Principi della misura differita e della misura implicita. Commutazione fra misura e retroazione. Feedback. Teorema di Lo-Popescu per operazioni su stati entangled. Teletrasporto quantistico e superdense coding.

Forme di Hilbert-Schmidt per stati entangled e per operatori unitari su spazi tensore. Numero di Schmidt dello stato e dell'operatore. Relazioni con teoremi di algebra di matrici: decomposizione polare e a valori singolari. Notazione a prodotti esterni. Prodotto interno di Hilbert-Schmidt. Spanning sets di operatori. Cenni al caso di dimensione infinita. Teoria della maggiorazione. Teoremi di Birkoff e Uhlmann. Applicazioni: Tomografia quantistica di stati. Trasformazioni di entanglement.

Sistemi quantistici aperti e rumore quantistico

Canali classici e catene di Markov. Operatore densita' ridotto e purificazione. Concetto di "operazione quantistica" e di "mappa completamente positiva" (CP). Corrispondenza fra mappe CP e matrici positive. Decomposizioni di Krauss e di Stinespring e loro interpretazione fisica. Teoremi di realizzabilita' fisica. Misurazione come "operazione quantistica". Canali rumorosi: canale di Pauli, perdita quantistica, dissipazione, rumore gaussiano generalizzato. Cenni alla teoria delle Master Equations. Forma di Lindbland. Master equation generale per sistemi a due livelli. Master equation generale per oscillatore armonico. Master equations nell'Heisenberg picture, evoluzione dei valori medi e teorema di regressione quantistica. Soluzioni operatoriali di casi semplici. Stati stazionari di casi semplici. Passaggio all'equazione di Fokker-Plank. Soluzione generale con funzioni di Green. Metodi Monte Carlo. Applicazione a amplificatori parametrici ottici phase-insensitive e phase-sensitive.

Misure di distanza e fidelity fra distribuzioni di probabilita'. Misure di distanza fra stati quantistici. Contrattivita' della dinamica dei sistemi aperti. Proprieta' di convessita' e monotonicita'. Punti fissi. Teorema di Uhlmann della purificazione. Fidelity di canale ed entanglement fidelity. Teletrasporto come operazione quantistica. Tomografia quantistica di canale. Cenni di teoria delle rappresentazioni di gruppi, riduzione, e lemmi di Schur. Operazioni quantistiche covarianti. Applicazione al cloning quantistico ottimale covariante.

Teoria dell'informazione classica e quantistica

Entropia ed informazione. Entropia di Shannon e sue proprieta'. Entropia di von Neumann e proprieta'. Entropie: relativa, condizionale, congiunta. Mutua informazione. Proprieta' di subadditivita' forte e debole. Riduzione da condizionamento. Chaining rules. Teorema del data processing classico. Disuguaglianze di Klein e Fannes. Disuguaglianze di Araki-Lieb. Effetto di misurazione ed operazione quantistica su entropia e mutua informazione. Teoremi di Lieb, concavita' e concavita' forte e debole, monotonicita'.

Bound di Holevo. Teorema del nocloning quantistica. Disuguaglianza di Fano. Compressione classica di dati: teorema di codifica di Shannon per canale ideale; teorema di codifica di Shannon per canale con rumore. Legge dei grandi numeri. Teorema delle sequenze tipiche. Compressione quantistica di dati: teorema dei sottospazi tipici. teorema di codifica Schumaker per canale ideale; teorema di codifica di Holevo Schumaker Westmoreland per canali con rumore. Entropy exchange. Teorema quantistico del data-processing. Entanglement come risorsa fisica: distillazione e creazione di entanglement. Catalisi di entanglement.

Quantum Computation e Quantum Information

Qubit. Parallelismo quantistico. Semplici algoritmi quantistici: Deutsch, Deutsch-Jozsa. Cenni di computer science e teoria della complessita' computazionale: macchina di Turing e tesi di Church-Turing. Circuiti e porte logiche. Il problema dell'alt. Quantificazione delle risorse (notazione asintotica). Riduzione. Classi di complessita': P, NP, NP-completo. Principio di Landaurer e demone di Maxwell. Chernoff bound. Quantum computation: operazioni a qubit singolo. C-NOT. Gates di Toffoli e Fredkin. Quantum gates universali. Introduzione alla crittografia classica: l'algoritmo RSA. Introduzione alla crittografia quantistica. Quantum bit commitment. L'algoritmo quantistico di Shor. Introduzione alla teoria quantistica della correzione degli errori. Implementazioni fisiche: elettrodinamica in cavita' ottiche, trappole ioniche. reticoli ottici atomici, NMR.

Programma dettagliato

Richiami di Meccanica Quantistica

Sistemi a due livelli e rappresentazione di Bloch. Teoria degli ensembles e matrice densita`. Tracce parziali e purificazioni.

Campo elettromagnetico quantizzato

Quantizzazione del campo em. Operatori di campo. Spazio di Fock. Energia di punto zero. Fluttuazioni di vuoto. Radiazione termica.

Stati coerenti

Operatore spostamento, formule BCH. Distribuzioni numero e quadratura, completezza. Funzioni generatrici dei momenti e distribuzioni di probabilita`. Funzioni di Wigner generalizzate ed ordinamento.

Stati squeezed

Stati a minima indeterminazione e stati squeezed. Operatore di squeezing, formule BCH. Distribuzioni numero e quadratura.

Teoria della misura generalizzata

Misure proiettive e non proiettive (POVM). Misure congiunte. Principio di Heisenberg generalizzato. Cenni di teoria quantistica della stima. Misura della fase. Misurazioni fondamentali: Stern-Gerlach e fotorivelazione.

Meccanica quantistica dello specchio semiriflettente

Hamiltoniana efficace. Evoluzione dei campi. Effetti quantistici: mixing di due fotoni e fluorescenza da un singolo atomo. Efficienza quantica. Dualita' squeezing/entanglement. Rivelazione omodina ed eterodina.

Amplificazione della radiazione

Cenni di ottica nonlineare: suscettivita`, Hamiltoniane efficaci, approssimazioni di onda rotante e di pompa semiclassica. Proprieta` quantistiche di amplificatori parametrici ottici. Amplificatori phase-insensitive: twin-beam ed entanglement. Amplificatori phase-sensitive: generazione di squeezing. Conversione quantistica di frequenza.

Misurazioni quantistiche

Tomografia quantistica. Teletrasporto quantistico. Superdense coding. Interferometria

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